理论证明正多面体的个数.

Question

理论证明正多面体的个数.

Answer 1

设正多面体的每个面是正n边行,每个顶点是m条棱,于是,棱数E应是F（面数）与n的积的一半,即
Nf=2E -------------- 1式
同时,E应是V（顶点数）与M的积的一半,即
mV=2E -------------- 2式
由1式、2式,得
F=2E/n, V=2E/m,
代入欧拉公式
V+F-E=2,
有
2E/m+2E/n-E=2
整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是正整数,所以1/E>0.因此
1/m+1/n>1/2 -------------- 3式
3式说明m,n不能同是大于3,否则3式不成立.另一方面,由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知,m>=3且n>=3.因此m和n至少有一个等于3
当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5
同理n=3,m也只能是3,4,5
所以
n m 类型
3 3 正四面体
4 3 正六面体
3 4 正八面体
5 3 正十二面体
3 5 正二十面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种