设函数f（x）=1−2x2，x＜−1x3，−1≤x≤212x−16，x＞2（1）写出f（x）的反函数g（x）的表达式；（2）g（x）是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点．

Question

设函数f（x）=

1−2x2，x＜−1

x3，−1≤x≤2

12x−16，x＞2

（1）写出f（x）的反函数g（x）的表达式；
（2）g（x）是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点．

Answer 1

（1）设y=f（x），则
∵x＜-1时，y=f（x）=1-2x²，∴x＝−√((1−y)/(2))，y＜-1；
-1≤x≤2时，y=f（x）=x³，∴x＝

3

y

，-1≤y≤8；
x＞2时，y=f（x）=12x-16，∴x＝(y+16)/(12)，y＞8．
∴f（x）的反函数是：g(x)＝

−√((1−x)/(2))

，x＜−1

3

x

，−1≤x≤8

(x+16)/(12)

，x＞8

（2）连续性的判定：
∵g(−1−0)＝

lim

x→−1−

√((1−x)/(2))＝1=g(−1+0)＝

lim

x→−1+

3

x

＝−1
g(8−0)＝

lim

x→8−

3

x

＝−2═g(8+0)

lim

x→8+

(x+16)/(12)＝3
∴g（x）在分段点x=-1，8处连续
而g（x）在各段都是初等函数，
∴g（x）在每段都是连续的
∴g（x）在（-∞，+∞）连续
可导性的判定：
∵−1≤x≤8时，g(x)＝

3

x

在x=0处是不可导的
∴x=-1是g（x）的不可导点
又g′−(−1)＝

lim

x→−1−

(g(x)−g(−1))/(x+1)=

lim

x→−1−

(−√((1−x)/(2))−(−1))/(x+1)=

lim

x→−1−

[(1)/(√(2))•(√(2)−√(1−x))/(x+1)]=(1)/(4)
g′+(−1)＝

lim

x→−1+

(g(x)−g(−1))/(x+1)＝

lim

x→−1+

(3x+1)/(x+1)＝

lim

x→−1+

(1)/(3x2+3x+1)＝−1
∴g（x）在x=-1不可导
同理：g′−(8)＝

lim

x→8−

(g(x)−g(8))/(x−8)＝

lim

x→8−

(3x−8)/(x−8)＝

lim

x→8−

(1)/(3x2+23x+4)＝(1)/(12)
g′+(8)＝

lim

x→8+

(g(x)−g(8))/(x−8)=

lim

x→8+

((x+16)/(12)−2)/(x−8)＝(1)/(12)
∴g（x）在x=8处可导
∴g（x）在x=-1处不可导
故：g（x）在（-∞，+∞）连续，在x=-1处不可导．