三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.这句诗的诗意.

Question

三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.这句诗的诗意.

Answer 1

　　明朝有位程大位,他在解答“物不知其数”问题（即：今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩2,问物几何?）用四句诗概括这类问题的解决：
　　三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.
　　这首诗就是解答此类问题的金钥匙,它被世界各国称为中国剩余定理或孙子定理,是我国古代数学的一项辉煌成果.
　　“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”
　　我们就从上述四句诗中来找答案：
　　三人同行七十稀,把除以3所得的余数用70乘.
　　五树梅花日一枝,把除以5所得的余数用21乘.
　　七子团圆正半月,把除以7所得的余数用15剩.
　　除百零五便得知,把上述三个积加起来,减去105的倍数,所得的差即为所求.
　　列式为：2×70＋3×21＋2×15=233,233－105×2=23.
　　为什么70,21,15,105有如此神奇作用?70,21,15,105是从何而来?
　　先后70,21,15,105的性质：
　　70除以3余1,被5,7整除,所以70a除以3余a,也被5,7整除；
　　21余以5余1,被3,7整除,所以21b除以5余b,也被3,7整除；
　　15除以7余1,被3,5整除,所以15c除以7余c,被3,5整除.
　　而105则是3,5,7的最小公倍数.
　　总之来说：70a＋21b＋15c是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数,这个数如果大了,还要减去它们的公倍数.
　　现在我们来提出别外一种解法,本质上是与上述方法相同,请大家不妨仔细体会一下.
　　先把题目改动一下：“今有物不知数,五五数之余二,七七数之余二,九九数之余四,问物几何?”
　　先找除以9余4的数：4,13,22,31,40,49,58,67……
　　其中除以7余2的数有：58.
　　但58除以5不余2,用58加上7和9的最小公倍数63,直到加成除以5余2为止：58,121,184,247……