明代数学家陈大位介绍如何理解明代数学家陈大位的四句歌诀:三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.

Question

明代数学家陈大位介绍
如何理解明代数学家陈大位的四句歌诀:三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.

Answer 1

三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,
七子团圆月正半,除百零五便得知.
这种解法的大意是说,拿用3除所得余数乘上70,加上用5除所得余数乘上21,再加上用7除所得余数乘上15,结果如果比105多,便减去105的倍数,所得到的就是所求的数.列成算式就是：70×2＋21×3＋15×2-2×105=23.
为什么要这样计算?原来,70是5和7的公倍数,而且被3除余1,所以2×70被3除就余2,并且能被5和7整除；21是3和7的公倍数,被5除余1,所以3×21被5除就余3,且能被3和7整除；15是3和5的公倍数,被7除余1,所以2×15被7除就余2,且能被3和5整除.因此,2×70＋3×21＋2×15=233满足被3除余2,被5除余3,被7除余2.而3×5×7＝105,即105是3、5、7的最小公倍数,从233中减去105的倍数,自然不会影响所求数被3、5、7除所得的余数了.