抛物线Y＝AX＾2－8AX+12A（A＜0）与X轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）,抛物线上另有一点C在第一象限,满足角ACB为直角,且OC=2√3.（1）求点A,B的坐标（2）求证：△OCA∽△OBC（3）求该抛物线解析

Question

抛物线Y＝AX＾2－8AX+12A（A＜0）与X轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）,抛物线上另有一点C在第一象限,满足角ACB为直角,且OC=2√3.
（1）求点A,B的坐标
（2）求证：△OCA∽△OBC
（3）求该抛物线解析式

Answer 1

（1）y=A(x-2)(x-6),所以 抛物线与 x 轴交点坐标分别是 A(2,0)、B(6,0)
（2）因∠ACB=90°,所以 C 应是在以 AB=4 为直径的圆上：(x-4)²+y²=2²；
又 OC=2√3,若设 C 点坐标为 (x,y),则 x²+y²=OC²=12；与圆方程联解得 x=3,y=√3；
直线 OC（3y-√3x=0）与圆心 (4,0) 的距离 d=|-√3*4|/√(3²+√3²)=2=r=AB/2；即 OC 与圆相切；
弦切角 ∠ACO=弦AC上的圆周角∠ABC（即∠OBC）,所以 △OCA∽△OBC；
（3）将坐标C(3,√3) 代入抛物线方程 y=A()(x-2)(x-6) 中：√3=A(3-2)(3-6),所以 A=-√3/3；
解析式 y=-(√3/3)(x-2)(x-6)；