如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，（1）求直线BC的解析式；（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式

Question

如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；
（3）设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．
问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），
得直线OA为：y=x，双曲线为：y＝(9)/(x)，
点B（6，m）代入y＝(9)/(x)得m＝(3)/(2)，点B（6，(3)/(2)），（1分）
设直线BC的解析式为y=x+b，由直线BC经过点B，
将x=6，y＝(3)/(2)，代入y=x+b得：b＝−(9)/(2)，（1分）
所以，直线BC的解析式为y＝x−(9)/(2)；（1分）

（2）由直线y＝x−(9)/(2)得点C（0，−(9)/(2)），
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y＝ax2+bx−(9)/(2)
将A、B两点的坐标代入y＝ax2+bx−(9)/(2)，得：

9a+3b−(9)/(2)＝3

36a+6b−(9)/(2)＝(3)/(2)

，（1分）
解得

a＝−(1)/(2)

b＝4

（1分）
所以，抛物线的解析式为y＝−(1)/(2)x2+4x−(9)/(2)；（1分）

（3）存在．
把y＝−(1)/(2)x2+4x−(9)/(2)配方得y＝−(1)/(2)(x−4)2+(7)/(2)，
所以得点D（4，(7)/(2)），对称轴为直线x=4（1分）
得对称轴与x轴交点的坐标为E（4，0）．（1分）
由BD=√(8)，BC=√(72)，CD=√(80)，得CD²=BC²+BD²，所以，∠DBC=90°（1分）
又∠PEO=90°，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，则有：
①(OE)/(BC)＝(PE)/(DB)，即(4)/(6√(2))＝(PE)/(2√(2))，得PE＝(4)/(3)，有P₁（4，(4)/(3)），P₂（4，−(4)/(3)）
②(OE)/(DB)＝(PE)/(BC)，即(4)/(2√(2))＝(PE)/(6√(2))，得PE=12，有P₃（4，12），P₄（4，-12）（3分）
所以，点P的坐标为（4，(4)/(3)），（4，−(4)/(3)），（4，12），（4，-12）．