函数u=xyz在曲面2z-xy=0上的点m(2,3,3)处沿曲面下侧法线方向的方向导数是?

Question

函数u=xyz在曲面2z-xy=0上的点m(2,3,3)处沿曲面下侧法线方向的方向导数是?

Answer 1

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第一步首先求曲面2z-xy=0在(2,3,3)处的法向量
设F(x,y,z)=2z-xy,则法向量为：(Fx,Fy,Fz)=(-y,-x,2)
由于我们需要的是向下的法向量,因此第三个分量需为负,则向下法向量为：(y,x,-2)
代入(2,3,3)的值为：(3,2,-2)

第二步计算u=xyz沿(3,2,-2)的方向导数,这个直接套公式
(3,2,-2)的三个方向余弦为：3/√17,2/√17,-2/√17
因此结果为：
∂u/∂n=(3/√17)(∂u/∂x)+(2/√17)(∂u/∂y)+(-2/√17)(∂u/∂z) |(2,3,3)
=(3/√17)(yz)+(2/√17)(xz)+(-2/√17)(xy) |(2,3,3)
=27/√17+12/√17-12/√17
=27/√17