如图①，将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，已知OA=5，OC=4，BC∥OA，BC=3，点E在OA上，且OE=1，连接OB、BE．（1）求证：∠OBC=∠ABE；（2）如图②，过点B作BD⊥x轴于D，点P在直线BD上运动，连

Question

如图①，将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，已知OA=5，OC=4，BC∥OA，BC=3，点E在OA上，且OE=1，连接OB、BE．
（1）求证：∠OBC=∠ABE；
（2）如图②，过点B作BD⊥x轴于D，点P在直线BD上运动，连接PC、PE、PA和CE．
①当△PCE的周长最短时，求点P的坐标；
②如果点P在x轴上方，且满足S_△CEP：S_△ABP=2：1，求DP的长．

Answer 1

（1）∵OC=4，BC=3，∠OCB=90°，
∴OB=5．
∵OA=5，OE=1，
∴AE=4，AB=√(42+(5−3)2)=2√(5)，
∴(AB)/(AE)=(OA)/(AB)，
又∵∠OAB=∠BAE，
∴△OAB∽△BAE，
∴∠AOB=∠ABE．
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠ABE；

（2）①∵BD⊥x轴，ED=AD=2，
∴E与A关于BD对称，
∴当点C、P、A三点共线时，△PCE的周长最短．
∵PD∥OC，
∴(AD)/(AO)=(PD)/(OC)，即(2)/(5)=(PD)/(4)，
∴PD=(8)/(5)，
∴点P的坐标为（3，(8)/(5)）；
②设PD=t．
当0＜PD≤4时，
∵S_△CEP=S_梯形OCPD-S_△OCE-S_△DEP=(1)/(2)（t+4）×3-(1)/(2)×4×1-(1)/(2)×2t=(1)/(2)t+4，
S_△ABP=(1)/(2)×2（4-t）=4-t，
∵S_△CEP：S_△ABP=2：1，
∴（(1)/(2)t+4）：（4-t）=2：1，
∴t=DP=(8)/(5)；
当PD＞4时，
∵S_△CEP=S_梯形OCPD-S_△OCE-S_△DEP=(1)/(2)（t+4）×3-(1)/(2)×4×1-(1)/(2)×2t=(1)/(2)t+4，
S_△ABP=(1)/(2)×2（t-4）=t-4，
∵S_△CEP：S_△ABP=2：1，
∴（(1)/(2)t+4）：（t-4）=2：1，
∴t=DP=8．
故所求DP的长(8)/(5)或8．