（2013•长宁区二模）如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，O是坐标原点，A（-3，0）且sin∠ABO=35，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，C（-1，0）．（1）求直线AB和抛物线的解析式；（2）若点D（

Question

（2013•长宁区二模）如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，O是坐标原点，A（-3，0）且sin∠ABO=(3)/(5)，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，C（-1，0）．
（1）求直线AB和抛物线的解析式；
（2）若点D（2，0），在直线AB上有点P，使得△ABO和△ADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，以A为圆心，AP长为半径画⊙A，再以D为圆心，DO长为半径画⊙D，判断⊙A和⊙D的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△ABO中 sin∠ABO=(OA)/(AB)=(3)/(5)，
∵OA=3，
∴AB=5
则OB=√(AB2−OA2)=4，
故点B的坐标为：（0，4），
设直线AB解析式为：y=kx+b（k≠0），
将A（-3，0）、B（0，4）代入得

−3k+b＝0

b＝4

，
解得：

k＝(4)/(3)

b＝4

，
∴AB直线解析式：y=(4)/(3)x+4．
将A（-3，0）、C（-1，0）、B（0，4）代入抛物线解析式可得：

9a−3b+c＝0

a−b+c＝0

c＝4

，
解得：

a＝(4)/(3)

b＝(16)/(3)

c＝4

，
故抛物线解析式：y=(4)/(3)x²+(16)/(3)x+4．

（2）设P（x，(4)/(3)x+4），已知D的坐标为：（2，0），
①若△ABO∽△APD，
则(AO)/(AD)=(AB)/(AP)=(BO)/(PD)，即(3)/(5)=(4)/(DP)，
解得：DP=(20)/(3)，
故点P的坐标为（2，(20)/(3)）．
②若△ABO∽△ADP，
则(AB)/(AD)=(AO)/(AP)，即(5)/(5)=(3)/(AP)，
解得：AP=3，
则（x+3）²+（(4)/(3)x+4）²=3²，
解得：x₁=-(6)/(5)，x₂=-(24)/(5)（不符合题意，舍去），
故点P的坐标为：（-(6)/(5)，(12)/(5)）．
（3）⊙D的半径r=2，
当点P的坐标为（2，(20)/(3)）时，⊙A的半径AP=(25)/(3)，AD=5＜(25)/(3)-2，
故此时两圆内含；
当点P的坐标为：（-(6)/(5)，(12)/(5)）时，⊙A的半径AP=3，AD=5=3+2，
故此时两圆外切．