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设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，（1）求证：方程f（x）=0有实根；（2）求证：-2＜ba＜−1；（3）设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，求|x2-x1|的取值范围．
题目详情
设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，
（1）求证：方程f（x）=0有实根；
（2）求证：-2＜
＜−1；
（3）设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，求|x2-x1|的取值范围．
（1）求证：方程f（x）=0有实根；
（2）求证：-2＜
| b |
| a |
（3）设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，求|x2-x1|的取值范围．
▼优质解答
答案和解析
∵f（0）f（1）＞0
∴c（3a+2b+c）＞0，
又a+b+c=0即c=-a-b
所以（-a-b）（2a+b）＞0
即2a2+3ab+b2＜0
（1）△x=4b2-12ac=4b2+12a（a+b）=12a2+12ab+4b2=12（a2+ab+
b2)
∴所给方程有实根（6分）
（2）由2a2+3ab+b2＜0知a2≠0，
(
)2+3(
)+2＜0
解得：-2＜
＜−1（6分）
（3）∵|x1-x2|=
═
=
∵-2＜
＜−1，结合二次函数的性质，
∴|x1-x2|∈[
，
∴c（3a+2b+c）＞0，
又a+b+c=0即c=-a-b
所以（-a-b）（2a+b）＞0
即2a2+3ab+b2＜0
（1）△x=4b2-12ac=4b2+12a（a+b）=12a2+12ab+4b2=12（a2+ab+
| 1 |
| 3 |
∴所给方程有实根（6分）
（2）由2a2+3ab+b2＜0知a2≠0，
(
| b |
| a |
| b |
| a |
解得：-2＜
| b |
| a |
（3）∵|x1-x2|=
| (x1+x2)2−4x1x2 |
═
|
|
∵-2＜
| b |
| a |
∴|x1-x2|∈[
| ||
| 3 |
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