如果方程x2+px+q=0两个根是x1x2,那么x1+x2=-p,x1•x2=q.请根据以上结论,（1）已知关于x的方程x2+5x+6=0,写出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.（2）已知a、b满足a2-15a-5=0,b

Question

如果方程x2+px+q=0两个根是x1x2,那么x1+x2=-p,x1•x2=q.请根据以上结论,
（1）已知关于x的方程x2+5x+6=0,写出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.
（2）已知a、b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,求b分之a + a分之b 的值.

Answer 1

(1)
已知方程两根分别为x1,x2,则有
x1+x2=-5 x1x2=6
设所求方程两根分别为1/x1,1/x2,则
1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1x2)=-5/6
(1/x1)(1/x2)=1/(x1x2)=1/6
所求方程为x²+(5/6)x+1/6=0,也可写为6x²+5x+1=0
(2)
a、b是方程x²-15x-6=0的两根.
a+b=15 ab=-6
a/b+b/a=(a²+b²)/(ab)=[(a+b)²-2ab]/(ab)=[15²-2(-6)]/(-6)=-79/2
题目已知给出的实际上是数学上非常重要的一个定理：“韦达定理”.