（2013•泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；（1）求EF的长；（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；①根据上述语

Question

（2013•泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；
（1）求EF的长；
（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；
①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明(OH)/(BG)=(EO)/(AE)；
②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：(OP)/(BG)=(1)/(2)，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；
（3）在（2）中，若点M（2，√(3)），探索2PO+PM的最小值．

Answer 1

（1）解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA=(1)/(2)∠COA=45°．
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E（-2，0），
∴EF=EO=2．
解法二：∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴(EF)/(AB)＝(OE)/(OA)，即(EF)/(6)＝(2)/(6)，
∴EF=6×(2)/(6)=2．

（2）①画图，如答图1所示：

证明：∵四边形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∴(OH)/(BG)＝(OF)/(BF)；
∵EF∥AB，
∴(OF)/(BF)＝(EO)/(AE)；
∴(OH)/(BG)＝(EO)/(AE)．
②证明：∵半圆与GD交于点P，
∴OP=OH．
由①得：(OP)/(BG)＝(OH)/(BG)＝(EO)/(EA)，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴(OP)/(BG)＝(EO)/(EA)＝(1)/(2)．
通过操作、观察可得，4≤BG≤12．

（3）由（2）可得：(OP)/(BG)=(1)/(2)，
∴2OP+PM=BG+PM．
如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，
∴NK=BG．

∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立．
又∵NK+KM≥MN=8，
当点K在线段MN上时，等号成立．
∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．