（2013•西城区一模）已知关于x的一元二次方程2x2+（a+4）x+a=0．（1）求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线C1：y＝2x2+(a+4)x+a与x轴的一个交点的横坐标为a2，

Question

（2013•西城区一模）已知关于x的一元二次方程2x²+（a+4）x+a=0．
（1）求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）抛物线C1：y＝2x2+(a+4)x+a与x轴的一个交点的横坐标为(a)/(2)，其中a≠0，将抛物线C₁向右平移(1)/(4)个单位，再向上平移(1)/(8)个单位，得到抛物线C₂．求抛物线C₂的解析式；
（3）点A（m，n）和B（n，m）都在（2）中抛物线C₂上，且A、B两点不重合，求代数式2m³-2mn+2n³的值．

Answer 1

（1）证明：∵△=（a+4）²-4×2a=a²+16，
而a²≥0，
∴a²+16＞0，即△＞0．
∴无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵当x＝(a)/(2)时，y=0，
∴2×（(a)/(2)）²+（a+4）×(a)/(2)+a=0，
∴a²+3a=0，即a（a+3）=0，
∵a≠0，
∴a=-3．
∴抛物线C₁的解析式为y=2x²+x-3=2（x+(1)/(4)）²-(25)/(8)，
∴抛物线C₁的顶点为（-(1)/(4)，-(25)/(8)），
∴抛物线C₂的顶点为（0，-3）．
∴抛物线C₂的解析式为y=2x²-3．

（3）∵点A（m，n）和B（n，m）都在抛物线C₂上，
∴n=2m²-3，m=2n²-3，
∴n-m=2（m²-n²），
∴n-m=2（m-n）（m+n），
∴（m-n）[2（m+n）+1]=0，
∵A、B两点不重合，即m≠n，
∴2（m+n）+1=0，
∴m+n=-(1)/(2)，
∵2m²=n+3，2n²=m+3，
∴2m³-2mn+2n³=2m²•m-2mn+2n²•n=（n+3）•m-2mn+（m+3）•n=3（m+n）=−(3)/(2)．