四次方程a0x^4+a1x^3+a2x^2+a3x+a4=0有四个不同实根,证明以下结论：4a0x^3+3a1x^2+2a2x+a3=0所有根皆为实根最好用中值定理、介值定理等来解

Question

四次方程a0x^4+a1x^3+a2x^2+a3x+a4=0有四个不同实根,证明以下结论：
4a0x^3+3a1x^2+2a2x+a3=0所有根皆为实根
最好用中值定理、介值定理等来解

Answer 1

f'(x)=4a0x^3+3a1x^2+2a2x+a3是f(x)=a0x^4+a1x^3+a2x^2+a3x+a4的导函数.
f'(x)=0要么有3个实根,要么有1个实根和一对共轭虚根（虚根共轭成对出现原理）.若为后者,f(x)图像只有一个极值,不可能与x轴有四个交点.所以f'(x)=0有3个实根.