在平面直角坐标系中，给出如下定义：形如y=（x-m）（x-m+1）与y=（x-m）（x-m-1）的两个二次函数的图象叫做兄弟抛物线．（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式．（2）若二次函数y=x2-x（图象

Question

在平面直角坐标系中，给出如下定义：形如y=（x-m）（x-m+1）与y=（x-m）（x-m-1）的两个二次函数的图象叫做兄弟抛物线．

（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式．
（2）若二次函数y=x²-x（图象如图）与y=x²-bx+2的图象是兄弟抛物线．
①求b的值．
②若直线y=k与这对兄弟抛物线有四个交点，从左往右依次为A，B，C，D四个点，若点B，点C为线段AD三等分点，求线段BC的长．

Answer 1

（1）当m=0时，得到一对兄弟抛物线，
y=x（x+1）与y=x（x-1）；

（2）①y=x²-x=x（x-1）．
情况一：若y=x（x-1）是形如y=（x-m）（x-m+1），则m=1，则另一个函数为y=（x-1）（x-2），即y=x²-3x+2，b=3．
情况二：若y=x（x-1）是形如y=（x-m）（x-m-1），则m=0，则另一个函数为y=x（x-1），即y=x²-x，与已知矛盾．
②y=x²-3x+2的图象可以看作是由y=x²-x的图象向右平移1个单位得到，如图．
如果k>0，则点A与点B是平移对应点，AB=1，
∵点B，点C为线段AD三等分点，
∴AB=BC=CD=(1)/(3)AD=1，即BC=1；
如果k<0，则点A与点C是平移对应点，AC=1，
∵点B，点C为线段AD三等分点，
∴AB=BC=(1)/(2)AC=(1)/(2)，即BC=(1)/(2)．
故线段BC的长为1或(1)/(2)．