x＞－1,x≠0,n∈N,n≥2,求证：(1＋x)n＞1＋nx

Question

x＞－1,x≠0,n∈N,n≥2,求证：(1＋x)n＞1＋nx

Answer 1

)当n=2时,左边=(1＋x)2=1＋2x＋x2,右边=1＋2x,因x2＞0,则原不等式成立．
　　(在这里,一定要强调之所以左边＞右边,关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得,为下面证明做铺垫)
　　(2)假设n=k时(k≥2),不等式成立,即(1＋x)k＞1＋kx．
　　(1＋kx)(1＋x)≥1＋(k＋1)x．显然,上式中“=”不成立．故只需证：(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x．
　　
　　 　当n=k＋1时,因为x＞－1,所以1＋x＞0,于是
　　左边=(1＋x)k+1=(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)=1＋(k＋1)x＋kx2；　右边=1＋(k＋1)x．
　　因为kx2＞0,所以左边＞右边,即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x．这就是说,原不等式当n=k＋1时也成立．
　　根据(1)和(2),原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．
囡囡只有这个办法了,可能不太好啊.