“对任意给定的ε∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-α|≤2ε”是数列{xn}收敛于α的（）A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分条件

Question

“对任意给定的ε∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|x_n-α|≤2ε”是数列{x_n}收敛于α的（　　）

A．充分条件但非必要条件
B．必要条件但非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分条件又非必要条件

Answer 1

先给出结论“对任意给定的ɛ∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ɛ”是“数列{x_n}收敛于a”的充分必要条件；下面给出证明过程．
充分性证明：
已知对任意给定的ɛ∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ɛ，
则对任意0＜ɛ₁＜1，取ɛ＝(1)/(3)ɛ1＞0，存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn−a|≤2ɛ＜(2)/(3)ɛ1＜ɛ1，令N₁=N-1，
则满足对任意ɛ₁＞0，总存在正整数N₁，当n≥N₁时，恒有|x_n-a|＜ɛ₁
即数列{x_n}收敛于a
必要性证明：
已知数列{x_n}收敛于a，等价于：对任意ɛ₁＞0，总存在正整数N₁，当n≥N₁时，恒有|x_n-a|＜ɛ₁
显然通过放缩：就能得证对任意给定的ɛ∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ɛ
故选：C