已知：a1=z,z>0,a(n+1)=sin(an),求lim(n)^(1/2)*sin(an)的极限an表示数列的第n项前辈,如果换成这样的条件呢：a(n+1)=sin(an)(n>2)其余不变

Question

已知：a1=z,z>0,a(n+1)=sin(an),求lim(n)^(1/2)*sin(an)的极限
an 表示数列的第n项
前辈,如果换成这样的条件呢 ：a(n+1)=sin(an) (n>2) 其余不变

Answer 1

√3,-√3,或0.取决于sin(z)的符号.sin(z)为正即为√3,sin(z)为负否则为-√3,如果sin(z)=0则为0.

我这个结果是凑的,应该是正确的,但也不是严格推导出来的,楼主将就着看吧.

我设sin(z)>0,因为sin(z)<=1<pi/2,所以后来a(n)就都在0到1之间了（sin(z)<0的情况,取个反号就行,没差别）

首先a(n)的极限是0,a(n+1)=sin(an)<a(n),慢慢会不断地变小,而且有下界0,所以有极限,这个极限需满足sinA=A,只能是0.所以n^(1/2)*sin(a(n))和n^(1/2)*a(n)其实极限是一样的.

后面的就是凑的了,设a(n)~C/√n+O(1/√n),C为待定常数.

一方面,a(n+1)/a(n)~(C/√(n+1))/(C/√n)=(1+1/n)^(-1/2)~1-1/2*1/n.

一方面,a(n+1)/a(n)=sin(a(n))/a(n)~(a(n)-1/6*a(n)^3)/a(n)=1-1/6*a(n)^2~1-1/6*(C/√n)^2=1-1/6*C^2*1/n.

当中用到了sin(x)的泰勒级数展开,以及(1+x)^a~1+ax

两边一比较,必须有1/2=1/6*C^2,得C=√3或-√3.

用电脑计算了下,正数部分确实是√3.