已知m,n,p,q满足：mnpq=6(m-1)(n-1)(p-1)(q-1).（1）.若m,n,p,q均为正整数,求m,n,p,q的值.（2）.若m,n,p,q都是大于1的数,试求m+n+p+q的最小值.

Question

已知m,n,p,q满足：mnpq=6(m-1)(n-1)(p-1)(q-1).
（1）.若m,n,p,q均为正整数,求m,n,p,q的值.
（2）.若m,n,p,q都是大于1的数,试求m+n+p+q的最小值.

Answer 1

(1)
设m,n,p,q减1后为a,b,c,d
那么(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d) = 6
设a >= b >= c >= d那么d必须为1,否则(3/2)^4 < 6
所以(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c) = 6 * 1/2 = 3
若c = 1那么(1+1/a)(1+1/b)=3/2 此时显然无整数解
所以c >= 2
若c = 2那么(1+1/a)(1+1/b) = 3*2/3 = 2,可知此时a = 3 ,b = 2是唯一一组解
若c >= 3那么(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c) <= (4/3)^3 < 3此时无解
所以m,n,p,q的值是2,3,3,4