（Ⅰ）比较∫10|lnt|[ln（1+t）]ndt与∫10t2|lnt|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由；（Ⅱ）记un=∫10|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限limx→∞un．

Question

（Ⅰ）比较

∫

1 0

|lnt|[ln（1+t）]ⁿdt与

∫

1 0

t2|lnt|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由；
（Ⅱ）记u_n=

∫

1 0

|lnt|[ln（1+t）]ⁿdt（n=1，2，…），求极限

lim

x→∞

un．

Answer 1

（1）构造函数f（t）=ln（1+t）-t
对函数f（t）求导得到：
f′(t)＝(1)/(1+t)−1＝−(t)/(1+t)
∴当t＞0时，有 f′（t）＜0
∴f（t）＜f（0）=0
∴0＜ln（1+t）＜t
∴0＜[ln（1+t）]ⁿ＜tⁿ
∵|lnt|≥0
∴0≤|lnt|[ln（1+t）]ⁿ≤|lnt|tⁿ
∴由积分的保号性定理可得：

∫

1 0

|lnt|[ln(1+t)]ndt≤

∫

1 0

tn|lnt|dt (n＝1，2，…)


（2）
由（1）可知：0≤un≤

∫

1 0

tn|lnt|dt，
而

∫

1 0

tn|lnt|dt＝−

∫

1 0

tnlntdt＝(−1)/(n+1)

∫

1 0

lntdtn+1
=−(1)/(n+1)[(tn+1lnt)

|

1 0

−

∫

1 0

tndt]=(1)/(n+1)

∫

1 0

tndt＝(1)/((n+1)2)tn+1

|

1 0

＝(1)/((n+1)2)
∵

lim

n→∞

(1)/((n+1)2)＝0，
∴由夹逼定理可得：

lim

n→∞

un＝0．