设是锥面z=x2+y2（0≤z≤1）的下侧，则∫∫xdydz+2ydzdx+3（z-1）dxdy=．

Question

设

是锥面z=√(x2+y2)（0≤z≤1）的下侧，则

∫∫

xdydz+2ydzdx+3（z-1）dxdy=______．

Answer 1

因为Σ是锥面z＝√(x2+y2)(0≤z≤1)的下侧，不是封闭曲面，
故首先添加一曲面Σ₁：

z＝1

x2+y2≤1

，取上侧，使Σ+Σ₁构成封闭曲面，并记其所围区域为Ω．
则
 

∬

xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=

∬

∑+∑1

xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy-

∬

∑1

xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy．
利用柱面坐标系计算可得，
 

∬

∑+∑1

xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=

∭

Ω

(1+2+3)dxdydz
=6

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

rdr

∫

1 r

dz
=12π

∫

1 0

r(1−r)dr
=2π．
而 

∬

∑1

xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy=0，
所以

∬

xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy=2π-0=2π．