如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当t=12秒时，则OP=，S△ABP=334334；（2）

Question

如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=(1)/(2)秒时，则OP=______，S_△ABP=

(3√(3))/(4)

(3√(3))/(4)

；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．

Answer 1

（1）当t=(1)/(2)秒时，OP=2t=2×(1)/(2)=1．
如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．

在Rt△POD中，PD=OP•sin60°=1×(√(3))/(2)=(√(3))/(2)，
∴S_△ABP=(1)/(2)AB•PD=(1)/(2)×（2+1）×(√(3))/(2)=(3√(3))/(4)．

（2）当△ABP是直角三角形时，
①若∠A=90°．
∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，
∴∠A≠90°，故此种情形不存在；
②若∠B=90°，如答图2所示：

∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；
③若∠APB=90°，如答图3所示：

过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP•sin30°=t，PD=OP•sin60°=√(3)t，
∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB-OD=1-t．
在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA²+PB²=AB²
∴（AD²+PD²）+（BD²+PD²）=AB²，
即[（2+t）²+（√(3)t）²]+[（1-t）²+（√(3)t）²]=3²
解方程得：t=(−1+√(33))/(8)或t=(−1−√(33))/(8)（负值舍去），∴t=(−1+√(33))/(8)．
综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=(−1+√(33))/(8)．

（3）证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，
则有(BE)/(PE)＝(OB)/(OA)＝(1)/(2)，∴PE=(2)/(3)PB．

∵AP=AB，∴∠APB=∠B，
∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，
∴∠OEB=∠B，
∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．
∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；
∴△OAQ∽△PEO，
∴(AQ)/(OE)＝(OA)/(PE)，即(AQ)/(1)＝(2)/((2)/(3)PB)，
化简得：AQ•PB=3．