（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，-5），点P是直线AC上的一动点．（1）

Question

（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，-5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为(AC)/(2)，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．
∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴(HP)/(OA)=(CH)/(CO)=(CP)/(CA)．
∵点P是AC中点，
∴CP=(1)/(2)CA．
∴HP=(1)/(2)OA，CH=(1)/(2)CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∴HP=(3)/(2)，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．
∴点P的坐标为（(3)/(2)，2）．
设直线DP的解析式为y=kx+b，
∵D（0，-5），P（(3)/(2)，2）在直线DP上，
∴

b＝−5

(3)/(2)k+b＝2

∴

k＝(14)/(3)

b＝−5

∴直线DP的解析式为y=(14)/(3)x-5．

（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴(DO)/(AB)=(OM)/(BC)．
∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．-5），
∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴(5)/(4)=(OM)/(3)．
∴OM=(15)/(4)．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（(15)/(4)，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴(DO)/(CB)=(OM)/(BA)．
∵BC=3，AB=4，OD=5，
∴(5)/(3)=(OM)/(4)．
∴OM=(20)/(3)．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（(20)/(3)，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（(15)/(4)，0）或（(20)/(3)，0）．

（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=5．
∴PE=PF=(1)/(2)AC=(5)/(2)．
∵DE、DF都与⊙P相切，
∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S_△PED=S_△PFD．
∴S_{四边形DEPF}=2S_△PED
=2×(1)/(2)PE•DE
=PE•DE
=(5)/(2)DE．
∵∠DEP=90°，
∴DE²=DP²-PE²．
=DP²-(25)/(4)．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当DP⊥AC时，DP最短，
此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．
∵DP⊥AC，
∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴(AO)/(DP)=(AC)/(DC)．
∵AO=3，AC=5，DC=4-（-5）=9，
∴(3)/(DP)=(5)/(9)．
∴DP=(27)/(5)．
∴DE²=DP²-(25)/(4)
=（(27)/(5)）²-(25)/(4)
=(2291)/(100)．
∴DE=(√(2291))/(10)，
∴S_{四边形DEPF}=(5)/(2)DE
=(√(2291))/(4)．
∴四边形DEPF面积的最小值为(√(2291))/(4)．