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已知等比数列{an}的公比q>1,42是a1和a4的一个等比中项,a2和a3的等差中项为6,若数列{bn}满足bn=log2an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
题目详情
已知等比数列{an}的公比q>1,4
是a1和a4的一个等比中项,a2和a3的等差中项为6,若数列{bn}满足bn=log2an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
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(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为4
是a1和a4的一个等比中项,
所以a1•a4=(4
)2=32.
由题意可得
在为q>1,所以a3>a2.
解得
所以q=
=2.
故数列{an}的通项公式an=2n.
(2)由于bn=log2an(n∈N*),
所以bn=n,anbn=n•2n.Sn=1•2+2•22+3•23++(n-1)•2n-1+n•2n.①
2Sn=1•22+2•23++(n-1)•2n+n•2n+1.②
①-②得-Sn=1•2+22+23++2n-n•2n+1=
-n•2n+1.
所以Sn=2-2n+1+n•2n+1.
2 |
所以a1•a4=(4
2 |
由题意可得
|
在为q>1,所以a3>a2.
解得
|
所以q=
a3 |
a2 |
故数列{an}的通项公式an=2n.
(2)由于bn=log2an(n∈N*),
所以bn=n,anbn=n•2n.Sn=1•2+2•22+3•23++(n-1)•2n-1+n•2n.①
2Sn=1•22+2•23++(n-1)•2n+n•2n+1.②
①-②得-Sn=1•2+22+23++2n-n•2n+1=
2(1-2n) |
1-2 |
所以Sn=2-2n+1+n•2n+1.
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