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用数学归纳法证明不等式：1n+1n+1+1n+2+…+1n2＞1（n∈N*且n＞1）．
题目详情
用数学归纳法证明不等式：
+
+
+…+
＞1（n∈N*且n＞1）．
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| n2 |
▼优质解答
答案和解析
证明：（1）当n=2时，左边=
+
+
＝
＞1，∴n=2时成立（2分）
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即
+
+
+…+
＞1
那么当n=k+1时，左边=
+
+
+…+
=
+
+
+
+…+
+
−
＞1+
+
+…+
−
＞1+(2k+1)•
−
＞1+
＞1
∴n=k+1时也成立（7分）
根据（1）（2）可得不等式对所有的n＞1都成立（8分）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 13 |
| 12 |
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即
| 1 |
| k |
| 1 |
| k+1 |
| 1 |
| k+2 |
| 1 |
| k2 |
那么当n=k+1时，左边=
| 1 |
| k+1 |
| 1 |
| k+2 |
| 1 |
| k+3 |
| 1 |
| (k+1)2 |
=
| 1 |
| k |
| 1 |
| k+1 |
| 1 |
| k+2 |
| 1 |
| k+3 |
| 1 |
| k2+2k |
| 1 |
| (k+1)2 |
| 1 |
| k |
＞1+
| 1 |
| k2+1 |
| 1 |
| k2+2 |
| 1 |
| (k+1)2 |
| 1 |
| k |
＞1+(2k+1)•
| 1 |
| (k+1)2 |
| 1 |
| k |
| k2−k−1 |
| k2+2k+1 |
∴n=k+1时也成立（7分）
根据（1）（2）可得不等式对所有的n＞1都成立（8分）
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