用数学归纳法证明不等式：1n+1n+1+1n+2+…+1n2＞1（n∈N*且n＞1）．

Question

用数学归纳法证明不等式：(1)/(n)+(1)/(n+1)+(1)/(n+2)+…+(1)/(n2)＞1（n∈N^*且n＞1）．

Answer 1

证明：（1）当n=2时，左边=(1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(4)＝(13)/(12)＞1，∴n=2时成立（2分）
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即
(1)/(k)+(1)/(k+1)+(1)/(k+2)+…+(1)/(k2)＞1
那么当n=k+1时，左边=(1)/(k+1)+(1)/(k+2)+(1)/(k+3)+…+(1)/((k+1)2)
=(1)/(k)+(1)/(k+1)+(1)/(k+2)+(1)/(k+3)+…+(1)/(k2+2k)+(1)/((k+1)2)−(1)/(k)
＞1+(1)/(k2+1)+(1)/(k2+2)+…+(1)/((k+1)2)−(1)/(k)
＞1+(2k+1)•(1)/((k+1)2)−(1)/(k)＞1+(k2−k−1)/(k2+2k+1)＞1
∴n=k+1时也成立（7分）
根据（1）（2）可得不等式对所有的n＞1都成立（8分）