已知二次函数f（x）=mx2-2x-3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为（-1，n）（1）当a＞0时，解关于x的不等式：ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（ax）-3

Question

已知二次函数f（x）=mx²-2x-3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为（-1，n）
（1）当a＞0时，解关于x的不等式：ax²+n+1＞（m+1）x+2ax；
（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（a^x）-3a^x+1（x∈[1，2]）的最小值为-5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由不等式mx²-2x-3≤0的解集为（-1，n）知
关于x的方程mx²-2x-3=0的两根为-1和n，且m＞0
由根与系数关系，得

−1+n＝(2)/(m)

−1×n＝−(3)/(m)

∴

m＝1

n＝3

，
所以原不等式化为（x-2）（ax-2）＞0，
①当0＜a＜1时，原不等式化为(x−2)(x−(2)/(a))＞0，且2＜(2)/(a)，解得x＞(2)/(a)或x＜2；
②当a=1时，原不等式化为（x-2）²＞0，解得x∈R且x≠2；③
④当a＞1时，原不等式化为(x−2)(x−(2)/(a))＞0，且2＞(2)/(a)，解得x＜(2)/(a)或x＞2；
综上所述
当0＜a≤1时，原不等式的解集为{x|x＞(2)/(a)或x＜2}；
当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|x＞2或x＜(2)/(a) }．
（2）假设存在满足条件的实数a，
由（1）得：m=1，
∴f（x）=x²-2x-3，
∴y=f（a^x）-3a^x+1
=a^2x-2a^x-3-3a^x+1
=（a^x）²-（3a+2）a^x-3，
令a^x=t，（a²≤t≤a），
则y=t²-（3a+2）t-3
∴对称轴为：t=(3a+2)/(2)，
又0＜a＜1，
∴a²＜a＜1，1＜(3a+2)/(2)＜(5)/(2)，
∴函数y=t²-（3a+2）t-3在[a²，a]递减，
∴t=a时，y最小为：y=-2a²-2a-3=-5，
解得：a=(√(5)−1)/(2)，