1＋2＋2²＋.＋2的n－1次方＝2的n次方－1用数学归纳法证明

Question

1＋2＋2²＋.＋2的n－1次方＝2的n次方－1 用数学归纳法证明

Answer 1

证：
n=1时,2^1 -1=2-1=1,等式成立.
假设当n=k(k∈N,k≥1)时,等式成立,即1+2+2²+...+2^(k-1)= 2^k -1,则当n=k+1时,
1+2+2²+...+2^(k-1)+2^[(k+1)-1]
=1+2+2²+...+2^(k-1)+2^k
=2^k -1+2^k
=2×2^k -1
=2^(k+1)-1
等式同样成立.
综上,得1＋2＋2²＋.＋2的n－1次方＝2的n次方－1,等式成立.