大一高数证明题~注:∫的上限是a,下限是-a若f（x）在-a,a上可积并为奇函数,求证∫f（x）dx=0

Question

大一高数证明题~
注:∫的上限是a,下限是-a
若f（x）在【-a,a】上可积并为奇函数,求证∫f（x）dx=0

Answer 1

上面的不是很清楚,我来补充下吧!
把这个定积分分成[-a,0]和[0,a]两部分 那么
∫(-a,a)f(x)dx=∫(-a,0)f(x)dx+∫(0,a)f(x)dx
设t=-x,那么∫(-a,0)f(x)dx这个x的积分可以换成t的积分,由于x是取[-a,0],那么t的范围就是[a,0],故
∫(-a,0)f(x)dx=∫[a,0]f(-t)d(-t)
由于f(x)是奇函数,f(-t)=-f(t)
则：∫[a,0]f(-t)d(-t)=∫[a,0]f(t)dt
而将定积分的上下限互换,则定积分变号：
∫[a,0]f(t)dt=-∫[0,a]f(t)dt=-∫[0,a]f(x)dx (定积分的不变性质)
证明到这里,应该没问题了吧.其中的一个关键是x从-a取到0,则-x就是从a取到0,而不是从0到a.