求一道高考的数学题~已知球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,求球面面积.

Question

求一道高考的数学题~
已知球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,求球面面积.

Answer 1

首先任何平面对于球体的截面都是圆形,而且截面到球心的距离d、圆形截面的半径r和整个球体的半径R满足勾股定理的关系R²=r²+d².这个应该是书上的定理,我记得我高中学立体几何有这个定理.如果楼主对这个不清楚,可以追问一下我,目前不做详细解释.
这道题无论求面积还是体积,只要求出整个球体半径R就全都出来了,球半径R可以通过上面的公式R²=r²+d²,现在所有问题都落在了如何求截面圆半径r上.
这就是个平面几何问题了,圆周上的三个点ABC构成AC=BC=6,AB=4的三角形,求圆半径.我想到可以用正弦定理BC/sinA=2r来做（当然可以有别的方法）,就是算一个角的sin值,再用对边边长除以这个sin值就是直径长度2r.这是个等腰三角形,比较好办,从C往AB做一个高CD,就同时是中线,AD=BD=2,这样CD=√(AC²-AD²)=√32=4√2
所以sin值sinA=CD/AC=(2√2)/3
于是2r=BC/sinA=(9√2)/2所以r=(9√2)/4
于是用R²=r²+d²把d=R/2、r=(9√2)/4代入,算出R²=81/8+R²/4,R²=27/2,R=3√(3/2)=3/2倍的√6就是那个答案.计算过程都是根式,容易出错,楼主可以自己验算一下.