一题高等代数证明题.已知A是实反对称矩阵（即满足A'=-A）,试证明E-A^2为正定矩阵,其中,E是单位矩阵.怎么证.

Question

一题高等代数证明题.
已知A是实反对称矩阵（即满足A'=-A）,试证明E-A^2为正定矩阵,其中,E是单位矩阵.
怎么证.

Answer 1

定义.
首先,(E－A^2)'＝E－(A')^2＝E－A^2,所以 E－A^2 是对称矩阵.
其次,对于任意的非零向量x,x'(E－A^2)x＝x'x－xA^2x＝x'x＋xA'Ax＝x'x＋(Ax)'(Ax)
因为x≠0,所以 x'x＞0,(Ax)'(Ax)≥0,所以x'(E－A^2)x＞0.
所以 E－A^2 正定.