如何证明2条互不垂直的异面直线l1、l2,l1绕l2旋转所得旋转体为单叶双曲面.高中毕业水平.即证明轴截面与旋转体外表面的交线是双曲线的一部分.

Question

如何证明2条互不垂直的异面直线l1、l2,l1绕l2旋转所得旋转体为单叶双曲面.高中毕业水平.
即证明轴截面与旋转体外表面的交线是双曲线的一部分.

Answer 1

以l2为x轴建立空间直角坐标系
两直线不垂直,故可以设：l1 的方程为y=k1*x+b1,z=k2*x+b2
则直线l1上的点（x ,y ,z）到x轴的距离为
d=√(y^2+z^2)
d^2=(k1*x+b1)^2+(k2*x+b2)^2
d^2=(k1^2+k2^2)x^2+2(k1*b1+k2*b2)x+b1^2+b2^2
记c=k1^2+k2^2,d=k1*b1+k2*b2,e=b1^2+b2^2
（一堆常数写着麻烦,看着也烦）
d^2=c*x^2+2d*x+e
d^2=c[x+d/c]^2-d^2/c+e
d^2-c[x+d/c]^2=e-d^2/c
d^2/(e-d^2/c) - c[x+d/c]^2/(e-d^2/c) = 1
所以轴截面与旋转体外表面的交线是双曲线的一部分