今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：高一年级高二年级高三年级10人6人4人（I）若从20名学生中选出3人参加

Question

今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：

高一年级	高二年级	高三年级
10人	6人	4人

（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则 P(A)=(C110C210)/(C320) =(15)/(38)
答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为 (15)/(38) ．…（4分）
（II）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为 (1)/(3) ．所以…（6分） P(ξ=0)=

C

04

((1)/(3) ) 0 ((2)/(3) ) 4 =(16)/(81) ； P(ξ=1)=

C

14

((1)/(3) ) 1 ((2)/(3) ) 3 =(32)/(81) ； P(ξ=2)=

C

24

((1)/(3) ) 2 ((2)/(3) ) 2 =(24)/(81) =(8)/(27) ； P(ξ=3)=

C

34

((1)/(3) ) 3 ((2)/(3) ) 1 =(8)/(81) ；
P(ξ=4)=

C

44

((1)/(3) ) 4 ((2)/(3) ) 0 =(1)/(81) ．…（11分）
随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	(16)/(81)	(32)/(81)	(8)/(27)	(8)/(81)	(1)/(81)

…（12分）
所以 Eξ=0×(16)/(81) +1×(32)/(81) +2×(24)/(81) +3×(8)/(81) +4×(1)/(81) =(4)/(3) …（13分）
解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为 (1)/(3) ．…（5分）
则随机变量ξ服从参数为4， (1)/(3) 的二项分布，即ξ～ B(4，(1)/(3) ) ．…（7分）
随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	(16)/(81)	(32)/(81)	(8)/(27)	(8)/(81)	(1)/(81)

所以 Eξ=np=4×(1)/(3) =(4)/(3) …（13分）