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今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者,学生的名额分配如下:高一年级高二年级高三年级10人6人4人(I)若从20名学生中选出3人参加

题目详情
今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者,学生的名额分配如下:
高一年级 高二年级 高三年级
10人 6人 4人
(I)若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传,求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率;
(II)若将4名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教师人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
▼优质解答
答案和解析
(I)设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A,则 P(A)=
C 110
C 210
C 320
=
15
38

答:若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动,他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为
15
38
.…(4分)
(II)解法1:ξ的所有取值为0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为
1
3
.所以…(6分) P(ξ=0)=
C 04
(
1
3
) 0 (
2
3
) 4 =
16
81
P(ξ=1)=
C 14
(
1
3
) 1 (
2
3
) 3 =
32
81
P(ξ=2)=
C 24
(
1
3
) 2 (
2
3
) 2 =
24
81
=
8
27
P(ξ=3)=
C 34
(
1
3
) 3 (
2
3
) 1 =
8
81

P(ξ=4)=
C 44
(
1
3
) 4 (
2
3
) 0 =
1
81
.…(11分)
随机变量ξ的分布列为:
ξ 0 1 2 3 4
P
16
81
32
81
8
27
8
81
1
81
…(12分)
所以 Eξ=0×
16
81
+1×
32
81
+2×
24
81
+3×
8
81
+4×
1
81
=
4
3
…(13分)
解法2:由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为
1
3
.…(5分)
则随机变量ξ服从参数为4,
1
3
的二项分布,即ξ~ B(4,
1
3
) .…(7分)
随机变量ξ的分布列为:
ξ 0 1 2 3 4
P
16
81
32
81
8
27
8
81
1
81
所以 Eξ=np=4×
1
3
=
4
3
…(13分)
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