直线y=x/2+b与抛物线y=-x²-x+6交于M,N,问：是否存在b的值,使得∠MON=90°,若存在,求出b的值,若不存在,请说明理由.

Question

直线y=x/2+b与抛物线y=-x²-x+6交于M,N,
问：是否存在b的值,使得∠MON=90°,
若存在,求出b的值,若不存在,请说明理由.

Answer 1

假设存在
将直线与抛物线方程联立得2x²+3x+2b-12=0
设M(x1,y1) N(x2,y2)
∵∠MON=90°
∴OM²+ON²=MN²
OM²=x1²+y1²
ON²=x2²+y2²
MN²=（x1-x2)²+（y1-y2)²
所以整理得x1x2+y1y2=0
y1y2=(x1/2+b)(x2/2+b)=x1x2/4+b/2(x1+x2)+b²
由韦达定理x1+x2=-3/2 x1x2=b-6
代入可解得b=-3或b=5/2
∴存在