帮忙用积分推导下球体的表面积、体积用积分求出球体的表面积、体积,已知X2+Y2+Z2=R2(S=4πR2,V=4/3πR3)帮忙用积分推导下

Question

帮忙用积分推导下球体的表面积、体积
用积分求出球体的表面积、体积,已知X2+Y2+Z2=R2
(S=4πR2 ,V=4/3πR3 )
帮忙用积分推导下

Answer 1

思路是把立体图形看作平面图形旋转而成.
推导球的体积公式必须先知道圆柱的体积公式V=πr^2h
在直角坐标系上作一半径为r的圆,取第一象限的部分.这就得到了一个四分之一圆,这个四分之一圆旋转一周就是一个半球体.
在这个四分之一圆上用两条与y轴垂直的直线切割,两条直线的距离为无限小,即dx,就得到一个无限小的矩形.这个矩形的宽为dx,长为 根号(r^2-x^2).这个矩形旋转一圈得到的圆柱体积就是π(r^2-x^2)dx
由于这个矩形无限小,那么半圆分成了无数矩形,所以这个圆柱的体积是无限小的,必须通过积分算出半球体的体积.所以半球体的体积就是
V=∫π(r^2-x^2)dx(上限r下限0)
=π∫r^2-x^2 dx(上限r下限0)
=π(r^2x-x^3/3)(上限r下限0)
把上下限代进去,就得到
V=π(r^3-r^3/3)-π(0^3-0^3/3)=2πr^3/3
由于算出的是半球体的体积,所以乘以2,就得到半径为r的球的体积
V=4πr^3/3
用^表示平方
把一个半径为R的球的上半球切成n份 每份等高
并且把每份看成一个圆柱,其中半径等于其底面圆半径
则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)*h
其中h=R/n r(k)=根号[R^-(kh)^]
S(k)=根号[R^-(kR/n)^]*2πR/n
=2πR^*根号[1/n^-(k/n^)^]
则 S(1)+S(2)+……+S(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候就是半球表面积2πR^
乘以2就是整个球的表面积 4πR^