请问这个尔原函数的方向导数为何存在?方向导数的公式是：fx(x0,y0)cosa+fy(x0,y0)cosb可对于函数z=(根号下)x^2+y^2书上说在(0,0)处沿l=i方向的方向导数等于1.这是怎么算出来的呀?(0,0)处fx(x0,y0)根本就

Question

请问这个尔原函数的方向导数为何存在?
方向导数的公式是：
fx(x0,y0)cosa+fy(x0,y0)cosb
可对于函数z=(根号下)x^2+y^2
书上说在(0,0)处沿l=i方向的方向导数等于1.
这是怎么算出来的呀?(0,0)处fx(x0,y0)根本就不存在啊~

Answer 1

只有当二元函数f(x,y)的2个偏导数都存在的时候,才有,
方向导数的这个公式：fx(x0,y0)cosa+fy(x0,y0)cosb
对于函数 f(x,y) = [x^2 + y^2]^（1/2),
fx(x,y) = x[x^2 + y^2]^（-1/2),
fy(x,y) = y[x^2 + y^2]^（-1/2),
x^2 + y^2 不等于0,也就是x,y不能同时为0.
你说的非常正确,
在(0,0)处,fx(0,0)根本就不存在.
这个时候,要计算（0,0）处的方向导数.只能利用方向导数的定义了.
比如,要算 y = kx 方向上的方向导数.
f(x,y) = f(x,kx) = [(1+k^2)x^2]^(1/2),
f(0,0) = 0.
[(x-0)^2 + (y-0)^2]^(1/2) = [x^2 + k^2x^2]^(1/2) = [(1+k^2)x^2]^(1/2).
lim_{y=kx,(x,y)->(0,0)}{[f(x,y)-f(0,0)]/[(x-0)^2 + (y-0)^2]^(1/2)}
= lim_{x->0}{[f(x,kx)-f(0,0)]/[(x-0)^2 + (kx-0)^2]^(1/2)}
= lim_{x->0}{[f(x,kx)]/[(x-0)^2 + (kx-0)^2]^(1/2)}
= lim_{x->0}{[(1+k^2)x^2]^(1/2)/[(1+k^2)x^2]^(1/2)}
= lim_{x->0}{1}
= 1.
我想,这就是书上说在(0,0)处函数 f(x,y) = [x^2 + y^2]^（1/2)沿某方向的方向导数等于1,的原由吧.
可以肯定地说,这是利用方向导数的定义算出来的.