已知三个自然数a，b，c中至少a为质数，且满足(4a+2b-4c)2=443(2a-442b+884c)4a+2b-4c+886-442b-2a+2c-443=443，试求abc的值．

Question

已知三个自然数a，b，c中至少a为质数，且满足

(4a+2b-4c)2=443(2a-442b+884c)

√(4a+2b-4c+886)-√(442b-2a+2c-443)=√(443)

，试求abc的值．

Answer 1

由已知可得：2（2a+b-2c）²=443（a-221b+442c），
由于443是质数，故2a+b-2c是443的倍数，
令2a+b-2c=443k①，
∴a-221b+442c=886k²②，
①-②得：a+222b-444c=443k-886k²，
∴a=443k-886k²+222（2c-b），
①+②得：886c-443b=1772k²-443k，
∴2c-b=4k²-k，
∴a=443k-886k²+222（4k²-k）=2k²+221k=k（2k+221）
由于a为质数，2k+221≠1，
故k=1，a=2k+221=223，
将①②代入原方程得：
代入（2）得：√(886k+886)-√(886c-443-1772k2)=√(443)，
∴√(2k+2)-√(2c-1-4k2)=1，
∴2-√(2c-2)=1，
解得：c=3，
∴6-b=3，从而b=3，
∴abc=2007．