最大的数是多少设这个10位数奇数项和为a,偶数项数字和为b,x(i)表示i位上的数字根据能被11整除的数的性质a-b=11n(n为整数)a+b=9+8+..+1+0=45于是a=(45+11n)/2,b=(45-11n)/2显然a>0,且b>0解得-2

Answer 1

设这个10位数奇数项和为a,偶数项数字和为b,x(i)表示i位上的数字
根据能被11整除的数的性质
a-b=11n(n为整数)
a+b=9+8+..+1+0=45
于是
a=(45+11n)/2,b=(45-11n)/2
显然a>0,且b>0
解得-2且a,b是整数,即n必有奇数
所以n=1或-1
(1)n=1时a=28,b=17
要使数最大,则要使x(10)最大,则和一定时其他数尽量小
x(10)≤17-(0+1+2+3)=13
可以取到x(10)=9
剩下奇数项和a=28,偶数项和b'=b-x(10)=9
然后看x(9),也要最大,
x(9)≤28-(0+1+2+3)=22,可取x(9)=8
此时剩下奇数项和a'=a-x(9)=19,偶数项和b'=9
b'中还有4个数,此时要取x(8)最大,则使其他数尽量小
x(8)=b'-[x(6)+x(4)+x(2)]≤9-(0+1+2)=6
即x(8)最大取6,此时x(6),x(4),x(2)分别为2,1,0
而x(7),x(5),x(3),x(1)分别为7,5,4,3
要使数最大,则要使排在前面的数尽量大
则x(6)=2,x(4)=1,x(2)=0
x(7)=7,x(5)=5,x(3)=4,x(1)=3
原数为y1=9867251403
任何改变x(10),x(9),x(8)中数都会使原数变小,且11|y1
所以在n=1的条件下y1=9867251403是最大的能被11整数的10位数
(2)n=-1时a=17,b=28
和上面相同的分析方法
x(10)≤28-(0+1+2+3)=22,x(10)可以取9
b'=b-x(10)=19
x(9)≤17-(0+1+2+3)=13,x(9)可以取8
a'=a-x(9)=9
x(8)≤19-(0+1+2)=16,x(8)可以取7
b''=b'-x(8)=12
x(7)≤9-(0+1+2)=6,x(7)最大取6
剩下x(5),x(3),x(1)分别只能取2,1,0
而x(6),x(4),x(2)只能取5,4,3
要使最大,则要使前面的尽量大
x(5)=2,x(3)=1,x(1)=0
x(6)=5,x(4)=4,x(2)=3
于是原数y2=9876524130,11|y2
y2是n=-1情况下最大的10位满足条件的数
∵y1∴满足条件的最大的数为9876524130