勾股定理所有验证方法

Question

勾股定理所有验证方法

Answer 1

[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事　　 1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使,伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么?那个小男孩头也不抬地说：“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答道：“是5呀.”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味.,伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题.他经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.
　　如下:
在网格内,以两个直角边为边长的小正方形面积和,等于以斜边为边长的的正方形面积.
　　勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,
　　a^2+b^2=c^2
　　说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”,较长直角边为“股”,斜边称为“弦”,所以把这个定理成为“勾股定理”.勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系.
　　举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4,则斜边c^2= a^2+b^2=9+16=25即c=5
　　则说明斜边为5.
　　勾股定理的种证明方法（部分）
　　【证法1】（梅文鼎证明）
　　做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
　　∵ D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠EGF = ∠BED,
　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
　　又∵ AB = BE = EG = GA = c,
　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠ABC = ∠EBD.
　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
　　即 ∠CBD= 90°
　　又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
　　BC = BD = a.
　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
　　同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
　　设多边形GHCBE的面积为S,则
　　,
　　∴ .
　　【证法2】（项明达证明）
　　做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
　　过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
　　过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点
　　F作FN⊥PQ,垂足为N.
　　∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,
　　∴ ∠MPC = 90°,
　　∵ BM⊥PQ,
　　∴ ∠BMP = 90°,
　　∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.
　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °,
　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
　　∴ ∠QBM = ∠ABC,
　　又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
　　【证法3】（赵浩杰证明）
　　做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.
　　分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
　　∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
　　∴FI=a,
　　∴G,I,J在同一直线上,
　　∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
　　∠CJB = ∠CFD = 90°,
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
　　同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
　　∴∠ABG = ∠BCJ,
　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
　　∵∠ABC= 90°,
　　∴G,B,I,J在同一直线上,
　　【证法4】（欧几里得证明）
　　做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
　　BF、CD.过C作CL⊥DE,
　　交AB于点M,交DE于点L.
　　∵ AF = AC,AB = AD,
　　∠FAB = ∠GAD,
　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
　　∵ ΔFAB的面积等于,
　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM
　　的面积的一半,
　　∴ 矩形ADLM的面积 =.
　　同理可证,矩形MLEB的面积 =.
　　∵ 正方形ADEB的面积
　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
　　∴ ,即 a^2+b^2=c^2