已知函数f（x）=（2的x次方-a）/（2的x次方+1）①当a=2时,证明f（x）不是奇函数②判断此函数的单调性,给出证明③若此函数为奇函数,且f（x）≥x平方-4x+m在x∈[-2,2]时恒成立,求实数m的取值

Question

已知函数f（x）=（2的x次方-a）/（2的x次方+1）
①当a=2时,证明f（x）不是奇函数 ②判断此函数的单调性,给出证明 ③若此函数为奇函数,且f（x）≥x平方-4x+m在x∈[-2,2]时恒成立,求实数m的取值范围
a＞-1

Answer 1

1) a=2,f(x)+f(-x)=(2^x-2)/(2^x+1)+[2^(-x)-2]/[2^(-x)+1]
化简整理得大牌f(x)+f(-x)=-1不等于0,所以a=2时,f(x)不是奇函数
2）假设m>n,f(m)-f(n)=(2^m-a)/(2^m+1)+[2^n-a]/[2^n+1]
化简整理得f(m)-f(n)=(a+1)(2^m-2^n)/[(2^m+1)(2^n+1)]
因为a>-1,所以a+1>0,
m>n,所以(2^m-2^n)>0
而且[(2^m+1)(2^n+1)]>0
所以f(m)-f(n)>0,此函数为单调增函数
3）若此函数为奇函数,那么f(x)+f(-x)=0,
即(2^x-a)/(2^x+1)+[2^(-x)-a]/[2^(-x)+1]=0
简化整理得1-a=0,所以a=1
f(x)≥x^2-4x+m在[-2,2]恒成立,
即(2^x-1)/(2^x+1)≥x^2-4x+m
即（x^2-4x+m-1）(2^x+1)≤0
因为(2^x+1)恒大于0,所以要上面的不等式成立,那么（x^2-4x+m-1）≤0
即(x-2)^2+m-5≤0,即(5-m)≥(x-2)^2
因为x∈[-2,2],所以(x-2)^2最大值为4（x=0时）
所以5-m≥4
m≤1