定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f(x)＝log12(x+1)，x∈[0，1)1−|x−3|，x∈[1，+∞)，则关于x的函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a-1B．2-a-1C．1-2-aD．1-2a

Question

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f(x)＝

log(1)/(2)(x+1)，x∈[0，1)

1−|x−3|，x∈[1，+∞)

，则关于x的函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）

A．2^a-1
B．2^-a-1
C．1-2^-a
D．1-2^a

Answer 1

当-1≤x＜0时⇒1≥-x＞0，x≤-1⇒-x≥1，又f（x）为奇函数
∴x＜0时，f(x)＝−f(−x)＝

−log(1)/(2)(−x+1)，x∈[−1，0)

−1+|−x−3|，x∈(−∞，−1]

画出y=f（x）和y=a（0＜a＜1）的图象，
如图
共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则(x1+x2)/(2)＝−3，(x4+x5)/(2)＝3，而−log(1)/(2)(−x3+1)＝a⇒log₂（1-x₃）=a⇒x₃=1-2^a，
可得x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1-2^a，
故选D．