怎么证明：如果f(x)是奇函数,且图像关于直线x=a对称,则f(x)的一个周期是4a?

Question

怎么证明：如果f(x)是奇函数,且图像关于直线x=a对称,则f(x)的一个周期是4a?

Answer 1

迭代是在求解周期函数中的基本方法,如f(x)=g(x)将x代换成x+a就成了f(x+a)=g(x+a).
求证周期的最终目的是得到f(x)=f(x+T)的形式,这样就证得T是函数的周期.
下面是证明过程：
由于图像关于直线x=a对称：f(a+x)=f(a-x) 代换x为x+a得：f(x+2a)=f(-x)
又f(x)= - f(-x)
故f(x)= - f(x+2a) 代换x为x+2a得：
f(x+2a)= - f(x+4a)
即得f(x)=f(x+4a)
于是函数f(x)的周期为4a