已知函数f(x)=(a*2^x+a-2)/(2^x+1)为奇函数.判断函数f(x)的单调性并用定义证明

Question

已知函数f(x)=(a*2^x+a-2)/(2^x+1)为奇函数.判断函数f(x)的单调性并用定义证明

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数,则f（0）=0,代入解析式可求出a的值；（2）由（1）知f(x)=﹙2^x-1﹚/﹙2^x+1﹚=1-2/﹙2^x+1﹚,所以f（x）为增函数,任取x1＜x2∈R,然后判定f（x1）-f（x2）的符号,根据函数单调性的定义即可判定；
（1）f（x）的定义域为R,且为奇函数,∴f（0）=0,∴a=1
（2）由（1）知f(x)=﹙2^x-1﹚/﹙2^x+1﹚=1-2/﹙2^x+1﹚,
证明：任取x1＜x2∈R
f（x1）-f（x2）=1-2/(2^x1+1)-1+2/(2^x2+1)=2(2^x1-2^x2)/[ (2^x1+1) (2^x2+1)]
∵x1＜x2∈R,∴2^x1＜2^x2
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）为R上的增函数．
点评：本题主要考查了函数的奇偶性,以及函数的单调性和函数的值域,属于中档题．