已知圆C的半径为2,圆心在X轴的正半轴上,直线3X-4Y+4=0与圆C相切.过点Q（0,-3）的直线l与圆C交于不同的两点A（x1,y1）、B（x2,y2）,当x1x2+y1y2=3时,求△AOB的面积.

Question

已知圆C的半径为2,圆心在X轴的正半轴上,直线3X-4Y+4=0与圆C相切.
过点Q（0,-3）的直线l与圆C交于不同的两点A（x1,y1）、B（x2,y2）,当x1x2+y1y2=3时,求△AOB的面积.

Answer 1

设圆的方程为（x-a)^2+y^2=4 (a≥0)
由直线3X-4Y+4=0与圆C相切可知,圆心(a,0)到直线的距离为2,即
|3a-4*0+4|/√(3^2+4^2)=2,解得：a=2,a=-14/3(舍去）
则圆的方程为（x-2)^2+y^2=4
设过点Q（0,-3）直线方程为y=kx-3
则：(x-2)^2+(kx-3)^2=4
(1+k^2)x^2-(4+6k)x+9=0
x1x2=9/(1+k^2),
同理可得：(y+3)^2/k^2+y^2=4
(1+k^2)y^2+6y+(9-4k^2)=0
y1y2=(9-4k^2)/(1+k^2),
因x1x2+y1y2=3
9+（9-4k^2)=3(k^2+1)
k=√105/7,k=-√105/7(舍）
y1+y2=-6/(1+k^2)=-21/11,(y1+y2)/2=-21/22
x1+x2=(4+6k)/(1+k^2)=(14+3√105)/11,(x1+x2)=(14+3√105)/22
A,B中点坐标为[(14+3√105)/22,-21/22]
接下来只能自己慢慢算了