如图所示,在△ABC中,AB=AC=4,P为BC上的一点,(1)说明AP的平方加PB的PC=16(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100,设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……,100）,求M1+M2+M3……+M100的值

Question

如图所示,在△ABC中,AB=AC=4,P为BC上的一点,
(1)说明AP的平方加PB的PC=16
(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100,设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……,100）,求M1+M2+M3……+M100的值

Answer 1

1、作AD垂直BC于D
在Rt△ADP中,
AP²=AD²+DP²
在Rt△ABD中,
AB²=BD²+AD²
∴AB²-AP²=(BD²+AD²)-(AD²+DP²)=BD²-DP²=(BD－DP)×(BD＋DP)
∵AB=AC=4且AD垂直BC
∴BD=CD
∴BD－DP=PC,BD＋DP=BP
∴AB²-AP²=BP×PC
2、M1+M2+M3……+M100
=（AP1²＋P1B×P1C）＋（AP2²＋P2B×P2C)……（AP100²＋P100B×P100C）
=（AP1²＋AB²-AP1²)＋（AP2²＋AB²－AP2²）……（AP100²＋AB²－AP100）
=100AB²
∵AB=4
∴AB²=16
∴M1+M2+M3……+M100=100AB²=100×16=1600