已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0（a＞0）．试求a为何值时，两圆C1、C2：（1）相切；（2）相交．

Question

已知圆C₁：x²+y²-2ax-2y+a²-15=0，圆C₂：x²+y²-4ax-2y+4a²=0（a＞0）．试求a为何值时，两圆C₁、C₂：
（1）相切；
（2）相交．

Answer 1

圆C₁化成标准方程：（x-a）²+（y-1）²=16，圆C₂化成标准方程：（x-2a）²+（y-1）²=1
∴点C₁、C₂的坐标为（a，1）、（2a，1），半径分别为R₁=4，R₂=1
（1）当两圆相切时，圆心距等于两圆半径的和或圆心距等于两圆半径差的绝对值
即|C₁C₂|=R₁+R₂=5或|C₁C₂|=|R₁-R₂|=3
即√((a−2a)2+(1−1)2)=|a|=5或3，解之得a=5或3（舍负）
∴a=5或3时，两圆C₁、C₂相切；
（2）当两圆相交时，圆心距小于两圆半径的和而大于两圆半径差的绝对值
即|R₁-R₂|＜√((a−2a)2+(1−1)2)＜R₁+R₂，
得3＜|a|＜5，解之得3＜a＜5（舍负）
∴3＜a＜5时，两圆C₁、C₂相交．