t设a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,面积为S,P=1/2(a+b+c),则内切圆半径为r,求证：（1）r=S/P(2)Rt△ABC中,∠C=90°,则r=1/2（a+b-c)

Question

t设a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,面积为S,P=1/2(a+b+c),则内切圆半径为r,求证：（1）r=S/P
(2)Rt△ABC中,∠C=90°,则r=1/2（a+b-c)

Answer 1

(1)
设O为△ABC的内切圆的圆心,依次连接OA、OB、OC
则,S△ABC＝S△OBC＋S△OAB＋S△OAC
即,S＝ar/2 + br/2 + cr/2＝(a+b+c)r/2
又,P＝(a+b+c)/2
所以,S＝Pr
即,r＝S/P
(2)
∠C=90°时,a²+b²=c²
由等面积易得：ab=(a+b+c)r
即：
(a+b)²-a²-b²=2(a+b+c)r
(a+b)²-c²=2(a+b+c)r
(a+b+c)(a+b-c)=2(a+b+c)r
所以,
r=(a+b-c)/2