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复变函数里的主值到底什么意思?(1),求Ln(-i)及其主值,2kpi-pi/2),主值为i3pi/2(2),求Ln(-3+4i)及其主值,ln5-iarctan(4/3)+i(2kpi+pi)主值为ln5+i(pi-arctan(4/3))我看出(1)题的主值是令k=1求得的,而(2

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复变函数里的主值到底什么意思?
(1) ,求Ln(-i)及其主值 ,2kpi - pi/2 ) ,主值为 i3pi/2
(2) ,求Ln(-3+4i)及其主值 ,
ln5 - iarctan(4/3) + i(2kpi + pi)
主值为 ln5 + i(pi - arctan(4/3))
我看出(1)题的主值是令k=1求得的 ,而(2)题的主值是令k=0求得的 ,这怎么回事 没有个规定的?
(2)题的答案照公式来应该是 ln5 - i( arctan(-4/3) + 2kpi )
又arctan(-4/3)=-arctan(4/3) ,所以也可以写成 ln5 - i( -arctan(4/3) + 2kpi)
这样怎么不对?为什么答案要多加一个pi?
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答案和解析
复数z的辐角有无穷多个,其中有一个角称为辐角的主值,如果一个复变函数的函数值与辐角有关,且是多值函数,那么辐角取主值时的一个分支就称为函数的主值了.
比如对数函数Lnz=Ln(re^i(ψ+2kπ))=lnr+i(ψ+2kπ),k是任意整数,ψ是z的辐角的主值.k=0时的一个分支lnr+iψ称为Lnz的主值,记为lnz,即lnz=lnr+iψ.
注意:有些书上把辐角的主值定义为[0,2π)内的角度,有的是把辐角的主值定义为-π与π之间的角.这里的答案很明显选择的是前者.
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