（2014•蚌埠三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上不同的三点，A（32，322），B（-3，-3），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．（1）求椭圆的标

Question

（2014•蚌埠三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）上不同的三点，A（3√(2)，(3√(2))/(2)），B（-3，-3），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明

OM

•

ON

为定值并求出该定值．

Answer 1

（1）由已知，得

(18)/(a2)+((9)/(2))/(b2)＝1

(9)/(a2)+(9)/(b2)＝1

，解得

a2＝27

b2＝(27)/(2)

         …（2分）
∴椭圆的标准方程为(x2)/(27)+(y2)/((27)/(2))＝1．                           …（3分）
（2）设点C（m，n）（m＜0，n＜0），则BC中点为（(m−3)/(2)，(n−3)/(2)）．
由已知，求得直线OA的方程为x-2y=0，从而m=2n-3．①
又∵点C在椭圆上，∴m²+2n²=27．②
由①②，解得n=3（舍），n=-1，从而m=-5．                …（5分）
∴点C的坐标为（-5，-1）．                                  …（6分）
（3）证明：设P（x₀，y₀），M（2y₁，y₁），N（2y₂，y₂）．
∵P，B，M三点共线，∴(y1+3)/(2y1+3)＝(y0+3)/(x0+3)，整理，得y₁=(3(y0−x0))/(x0−2y0−3)．…（8分）
∵P，C，N三点共线，∴(y2+1)/(2y2+5)＝(y0+1)/(x0+5)，整理，得y2＝(5y0−x0)/(x0−2y0+3)．…（10分）
∵点C在椭圆上，∴x02+2y02＝27，∴x02=27-2y02．
从而y₁y₂=(3(3y02−6x0y0+27))/(2y02−4x0y0+18)=3×(3)/(2)=(9)/(2)．   …（14分）
∴

OM

•

ON

=5y₁y₂=(45)/(2)．                                    …（15分）
∴

OM

•

ON

为定值，定值为(45)/(2)．                                 …（16分）