1．已知二次函数y＝x2－(2m－1)x＋4m－6．（1）试说明不论m取任何实数,函数图象都经过x轴上的一个定点A（2）设函数图象与x轴的另一个交点为B（A与B不重合）,顶点为C,当△ABC为直角三角形时,

Question

1．已知二次函数y＝x2 －(2m－1)x＋4m－6．（1）试说明不论m取任何实数,函数图象都经过x轴上的一个定点A
（2）设函数图象与x轴的另一个交点为B（A与B不重合）,顶点为C,当△ABC为直角三角形时,求m的值；; （3）在（2）的条件下,若点B在点A的右侧,点D的坐标为（0,3）,点E是函数图象上一点．问：在x轴上是否存在点F,使得以D、E、F为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,求出F点坐标；若不存在,请说明理由．

Answer 1

已知二次函数y＝x2 －(2m－1)x＋4m－6．
（1）试说明不论m取任何实数,函数图象都经过x轴上的一个定点A；
（2）设函数图象与x轴的另一个交点为B（A与B不重合）,顶点为C,当△ABC为直角三角形时,求m的值；
（3）在（2）的条件下,若点B在点A的右侧,点D的坐标为（0,3）,点E是函数图象上一点．问：在x轴上是否存在点F,使得以D、E、F为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,求出F点坐标；若不存在,请说明理由．
 
(1)解析：∵f(x)=x^2-(2m-1)x+4m-6=x^2+x-(2x-4)m-6
令2x-4=0==>x=2==>f(2)=0
∴定点为A(2,0),不论m取什么值,函数都过点A(2,0)
 
(2)解析：∵f(x)=x^2-(2m-1)x+4m-6=(x-2)(x-2m+3)
其图像为开口向上的抛物线,对称轴为x=(2m-1)/2,与X轴交点为A(2,0),B(2m-3,0)
最小值-(m-5/2)^2
∴C(m-1/2,-(m-5/2)^2)
直线AC斜率k1=(m-5/2)^2/(5/2-m)
直线BC斜率k2=(m-5/2)
∵∠ACB=90°,∴k1k1=-(m-5/2)^2=-1==>(m-5/2)^2=1
∴m1=3/2,m2=7/2

(3)解析：由题意,取m=7/2==>f(x)=x^2-6x+8
设F(x,0),D(0,3)
当∠FDE=90°时
所求F点为F1(-4,0)
如图所示⊿F1DE1,此时E1与抛物线顶点C重合
∵⊿DF1O≌⊿DE1G
可知∠F1DE1=90°
 

当∠DFE=90°时
所求F点为F2((1+√5)/2,0)
如图所示⊿F2DE2,此时E2((1+√5)/2+3,( (1+√5)/2+3)^2-6((1+√5)/2+3)+8)
∵⊿DOF2≌⊿F2E2H
可知∠DF2E2=90°
 
当∠DEF=90°时
所求F点为F3(7+√17,0)
如图所示⊿F3DE3,此时E3((7+√17)/2,(7+√17)/2)
∵⊿DNE3≌⊿E3MF3
可知∠DE3F3=90°