（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小

Question

（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

Answer 1

（1）由抛物线y=-x²+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，

-1-b+c=0

-4+2b+c=3

，
解得

b=2

c=3

，
故抛物线为y=-x²+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得

-k+n=0

2k+n=3

，
解得

k=1

n=1

故直线AC为y=x+1；

（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
故直线DN′的函数关系式为y=-(1)/(5)x+(21)/(5)，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=-(1)/(5)×3+(21)/(5)=(18)/(5)；



（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
∵点E在直线AC上，
设E（x，x+1），
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
则F（x，x-1）
由F在抛物线上
∴x-1=-x²+2x+3
解得x=(1-√(17))/(2)或x=(1+√(17))/(2)
∴E（(1-√(17))/(2)，(3-√(17))/(2)）或（(1+√(17))/(2)，(3+√(17))/(2)）
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（(1-√(17))/(2)，(3-√(17))/(2)）或（(1+√(17))/(2)，(3+√(17))/(2)）；

（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x+1）
=-x²+x+2
又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ
=(1)/(2)PQ•AG
=(1)/(2)（-x²+x+2）×3
=-(3)/(2)（x-(1)/(2)）²+(27)/(8)
∴面积的最大值为(27)/(8)．

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）
又∵S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}-S_△AGC
=(1)/(2)（x+1）（-x²+2x+3）+(1)/(2)（-x²+2x+3+3）（2-x）-(1)/(2)×3×3
=-(3)/(2)x²+(3)/(2)x+3
=-(3)/(2)（x-(1)/(2)）²+(27)/(8)
∴△APC的面积的最大值为(27)/(8)．