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(2012•恩施州)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.(1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小
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(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0)及C(2,3)得,
,
解得
,
故抛物线为y=-x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A(-1,0)及C(2,3)得
,
解得
故直线AC为y=x+1;
(2)如图1,作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),
故直线DN′的函数关系式为y=-
x+
,
当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,
则m=-
×3+
=
;
(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),
∵点E在直线AC上,
设E(x,x+1),
①如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,
则F(x,x+3),
∵F在抛物线上,
∴x+3=-x2+2x+3,
解得,x=0或x=1(舍去)
∴E(0,1);
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,
则F(x,x-1)
由F在抛物线上
∴x-1=-x2+2x+3
解得x=
或x=
∴E(
,
)或(
,
)
综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、(
,
)或(
,
);

(4)方法一:如图3,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,设Q(x,x+1),则P(x,-x2+2x+3)
∴PQ=(-x2+2x+3)-(x+1)
=-x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
=
PQ•AG
=
(-x2+x+2)×3
=-
(x-
)2+
∴面积的最大值为
.
方法二:过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图3,
设Q(x,x+1),则P(x,-x2+2x+3)
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC
=
(x+1)(-x2+2x+3)+
(-x2+2x+3+3)(2-x)-
×3×3
=-
x2+
x+3
=-
(x-
)2+
∴△APC的面积的最大值为
.

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解得
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故抛物线为y=-x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A(-1,0)及C(2,3)得
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解得
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故直线AC为y=x+1;
(2)如图1,作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),
故直线DN′的函数关系式为y=-
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当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,
则m=-
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(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),
∵点E在直线AC上,

设E(x,x+1),
①如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,
则F(x,x+3),
∵F在抛物线上,
∴x+3=-x2+2x+3,
解得,x=0或x=1(舍去)
∴E(0,1);
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,
则F(x,x-1)
由F在抛物线上
∴x-1=-x2+2x+3
解得x=
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1+
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∴E(
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1+
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综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、(
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1+
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3+
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(4)方法一:如图3,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,设Q(x,x+1),则P(x,-x2+2x+3)
∴PQ=(-x2+2x+3)-(x+1)
=-x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
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∴面积的最大值为
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方法二:过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图3,
设Q(x,x+1),则P(x,-x2+2x+3)
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC
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